Question

4．已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0，若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，则实数K的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；分类讨论，确定函数的单调性，确定函数的最值，即可求实数k的最小值．

解答 解：函数f（x）=x-ln（x+a）的定义域为（-a，+∞），
求导函数可得f′（x）=$\frac{x+a-1}{x+a}$，
令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a，
令f′（x）＞0，x＞-a可得x＞1-a；令f′（x）＜0，x＞-a可得-a＜x＜1-a
∴x=1-a时，函数取得极小值且为最小值．
∵函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，
∴f（1-a）=1-a-0，解得a=1；
当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意；
当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=x-ln（x+1）-kx²，
求导函数可得g′（x）=$\frac{-x[2kx-（1-2k）]}{x+1}$，
令g′（x）=0，可得x₁=0，x₂=$\frac{1-2k}{2k}$＞-1，
①当k≥$\frac{1}{2}$时，$\frac{1-2k}{2k}$≤0．g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），
总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，
故k≥$\frac{1}{2}$符合题意；
②当0＜k＜$\frac{1}{2}$时，$\frac{1-2k}{2k}$＞0，对于x∈（0，$\frac{1-2k}{2k}$），g′（x）＞0，
因此g（x）在（0，$\frac{1-2k}{2k}$）内单调递增．
因此当x₀∈（0，$\frac{1-2k}{2k}$）时，g（x₀）≥g（0）=0，
即有f（x₀）≤kx₀²不成立，故0＜k＜$\frac{1}{2}$不合题意．
综上，k的最小值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值与最值，考查分类讨论的数学思想．属于中档题．