Question

14．设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点为F₁、F₂，左右顶点为A₁，A₂，双曲线C₂的焦点为A₁，A₂，顶点为F₁，F₂，椭圆C₁与双曲线C₂交于P₁，P₂，P₃，P₄四点，若直线P₂P₄的斜率为$\frac{1}{2}$，则椭圆C₁的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设椭圆的半焦距为c，且a²-b²=c²，求出椭圆的焦点和顶点，可得双曲线的方程，运用直线的斜率公式，可得P₄（2n，n），代入椭圆方程和双曲线方程，运用离心率公式，化简计算即可得到所求值．

解答 解：设椭圆的半焦距为c，且a²-b²=c²，
由椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），
左右顶点为A₁（-a，0），A₂（a，0），
由题意可得双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1．
设P₄（m，n），可得P₂（-m，-n），
由直线P₂P₄的斜率为$\frac{1}{2}$，
可得$\frac{n}{m}$=$\frac{1}{2}$．即m=2n，
将（2n，n）代入椭圆的方程和双曲线的方程，可得
$\frac{4{n}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{4{n}^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
两式相除，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{4}{{c}^{2}}$-$\frac{1}{{a}^{2}-{c}^{2}}$，
即有$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{c}^{2}}$=$\frac{2}{{c}^{2}-{a}^{2}}$，
可得2c⁴-5a²c²+2a⁴=0，
即有c²=2a²，或a²=2c²，
则椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选B．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，注意运用点在曲线上，则满足曲线方程，考查运算能力，属于中档题．