Question

对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)= + ,设an=[f(n)]2-f(n),数列{an}的前15项的和为,则f(15)=　　　　. 

Answer 1

解析:因为f(x+1)= + ,

所以f(x+1)- =≥0,

即f(x+1)≥.

两边平方得[f(x+1)- ]2=f(x)-[f(x)]2,

即[f(x+1)]2-f(x+1)+ =f(x)-[f(x)]2,

即[f(x+1)]2-f(x+1)+[f(x)]2-f(x)=- ,

即an+1+an=-,

即数列{an}的任意相邻两项之和为-,

所以S15=7×(-)+a15=-,即a15=-.

所以a15=[f(15)]2-f(15)=-,

解得f(15)=或f(15)= (舍去).