Question

已知曲线：.
（Ⅰ）当时，求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）设斜率为的两条直线与曲线相切于两点，求证：中点在曲线上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，又已知直线的方程为：，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）当时,先求导，通过斜率为1得到切点.然后利用点斜式得到所求切线方程；（Ⅱ）先将两点的坐标设出，其中纵坐标用相应点的横坐标表示.再由导数的几何意义，得到两点横坐标满足.从而得到中点，又中点在曲线上 ，显然成立．得证；（Ⅲ）由中点在直线，又在曲线，从而得，再反代如直线与曲线联立得方程，得到两点的坐标，代入导函数中得到斜率，从而得到.
试题解析：（Ⅰ）当时，，
设切点为，由，切点为
故为所求．                (4分)
（Ⅱ），设，
由导数的几何意义有


中点，即，
又中点在曲线上 ，显然成立．得证．     (8分)
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，中点的横坐标为，且在上，，
又在曲线上，，
所以．
由，
 
由于，
故．
综上，为所求．                                  (13分)