Question

已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为2，则该三棱锥的外接球的表面积是（　　）

• A、6π
• B、12π
• C、18π
• D、24π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离,球

分析：利用正三棱锥三条侧棱两两互相垂直，构造边长为2的正方体，则正方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径即可求出球的表面积．

解答： 解：∵正三棱锥三条侧棱两两互相垂直，底面边长为2，侧棱长为

2

．
∴构造边长为

2

的正方体，
则正方体的体对角线为外接球的直径，
设球半径为r，
则正方体的体对角线长为

( 2 )2+( 2 )2+( 2 )2

=

6

，
即正三棱锥外接球的半径r=

6

2

，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr²=4×

6

4

π=6π．
故选：A．

点评：本题主要考查球的表面积公式的计算，根据正三棱锥的侧棱关系构造正方体，根据正方体的体对角线和球直径之间的关系求出球半径是解决本题的关键．