Question

10．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为a＞xln x-x³．令g（x）=xln x-x³，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意知f（x）的定义域为（0，+∞），
且f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{x2}$=$\frac{x+a}{x2}$，
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
当a＜0时，令f′（x）＞0，x＞-a，
令f′（x）＜0，0＜x＜-a，
∴增区间为（-a，+∞），减区间为（0，-a）；
（Ⅱ）∵f（x）＜x²，
∴ln x-$\frac{a}{x}$＜x²，
又x＞0，
∴a＞xln x-x³，
令g（x）=xln x-x³，h（x）=g′（x）=1+ln x-3x²，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-6x=$\frac{1-6x2}{x}$，
∵x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴h（x）＜h（1）=-2＜0，即g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上也是减函数，
g（x）＜g（1）=-1，
∴当a≥-1时，f（x）x²在（1，+∞）上恒成立，
故a的取值范围是[-1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．