题目内容
已知向量
=（sinθ，cosθ）（θ∈R），
=（
，3），
=（-1，-
），
（Ⅰ）若θ为某锐角三角形的内角，证明：
，
不可能互相垂直；
（Ⅱ）若A，B，C三点共线，求θ的值．
| OA |
| OB |
| 3 |
| OC |
| 3 |
（Ⅰ）若θ为某锐角三角形的内角，证明：
| OA |
| OB |
（Ⅱ）若A，B，C三点共线，求θ的值．
分析：（1）假设
⊥
，则
•
=0，即
sinθ+3cosθ=0，求得tanθ＜0，这与θ为锐角三角形的内角相矛盾，故
，
不可能互相垂直．
（Ⅱ）求得
、
的坐标，由A、B、C三点共线，得
∥
，再利用两个向量共线的性质可得tanθ 的值，从而求得θ 的值．
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| 3 |
| OA |
| OB |
（Ⅱ）求得
| AB |
| CB |
| AB |
| CB |
解答：解：（1）假设
⊥
，则
•
=0，即
sinθ+3cosθ=0，∴tanθ=-
＜0．
而θ为锐角三角形的内角，这与tanθ＞0相矛盾，所以假设不成立．
即若θ为某锐角三角形的内角，则
，
不可能互相垂直．
（Ⅱ）∵
=
-
=（
-sinθ，3-cosθ），
=
-
=（
+1，3+
），
由A、B、C三点共线，得
∥
．
所以，（
-sinθ，3-cosθ）=（
+1，3+
）=，化简可得 tanθ=
，∴θ=kπ+
，k∈z．
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| 3 |
| 3 |
而θ为锐角三角形的内角，这与tanθ＞0相矛盾，所以假设不成立．
即若θ为某锐角三角形的内角，则
| OA |
| OB |
（Ⅱ）∵
| AB |
| OB |
| OA |
| 3 |
| CB |
| OB |
| OC |
| 3 |
| 3 |
由A、B、C三点共线，得
| AB |
| CB |
所以，（
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| π |
| 6 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量共线的性质，属于中档题．
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