题目内容

已知向量
OA
=（λsinα，λcosα），
OB
=（cosβ，sinβ），且α+β=
5π
6
，其中O为原点．
（Ⅰ）若λ＜0，求向量
OA
与
OB
的夹角；
（Ⅱ）若λ∈[-2，2]，求|
AB
|的取值范围．
（Ⅰ）由题意可得|
OA
|=
(λsinα)2+(λcosα)2
=-λ，
|
OB
|=
cos2β+sin2β
=1，
OA
•
OB
=λsinαcosβ+λcosαsinβ
=λsin（α+β）=λsin
5π
6
=
1
2
λ，设向量
OA
与
OB
的夹角为θ，
则cosθ=
1
2
λ
-λ×1
=-
1
2
，又因为θ∈[0，π]，
所以向量
OA
与
OB
的夹角θ为
2π
3
；
（Ⅱ）|
AB
|=|
OB
-
OA
|=
(cosβ-λsinα)2+(sinβ-λcosα)2

=
1+λ2-2λ(sinαcosβ+cosαsinβ)
=
1+λ2-2λsin(α+β)

=
1+λ2-λ
=
(λ-
1
2
)2+
3
4
，由于λ∈[-2，2]，
由二次函数的知识可知：当λ=
1
2
时，上式有最小值
3
2
，
当λ=-2时，上式有最大值
7
，
故|
AB
|的取值范围是[
3
2
，
7
]
练习册系列答案
相关题目
已知三点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量
OA
+K
OB
+(2-K)
OC
=
0
（k为常数且0＜k＜2，O为坐标原点，S△BOC表示△BOC的面积）
（1）求cos（β-γ）的最值及相应的k的值；
（2）求cos（β-γ）取得最大值时，S△BOC：S△AOC：S△AOB．
已知向量
OA
=
a
=(cosα，sinα)，
OC
=
c
=(0，2)
OB
=
b
=(2cosβ，2sinβ)，其中O为坐标原点，且0＜α＜
π
2
＜β＜π
（1）若
a
⊥(
b
-
a
)，求β-α的值；
（2）若
OB
•
OC
=2，
OA
•
OC
=
3
，求△OAB的面积S．
已知向量
OA
=a=(
2
cosα，
2
sinα)，
OB
=b=（2cosβ，2sinβ），其中O为坐标原点，且
π
6
≤α＜
π
2
＜β≤
5π
6
．
（1）若
a
⊥（
b
-
a
），求β-α的值；
（2）当
a
•（
b
-
a
）取最小值时，求△OAB的面积S．
已知向量
OA
=a=(
2
cosα，
2
sinα)，
OB
=b=（2cosβ，2sinβ），其中O为坐标原点，且
π
6
≤α＜
π
2
＜β≤
5π
6
．
（1）若
a
⊥（
b
-
a
），求β-α的值；
（2）当
a
•（
b
-
a
）取最小值时，求△OAB的面积S．
已知向量
OA
=
a
=(cosα，sinα)，
OC
=
c
=(0，2)
OB
=
b
=(2cosβ，2sinβ)，其中O为坐标原点，且0＜α＜
π
2
＜β＜π
（1）若
a
⊥(
b
-
a
)，求β-α的值；
（2）若
OB
•
OC
=2，
OA
•
OC
=
3
，求△OAB的面积S．

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