Question

已知向量

OA

=(λcosα，λsinα)（λ≠0），

OB

=(-sinβ，cosβ)，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）若α-β=

π

6

且λ=1，求向量

OA

与

OB

的夹角；
（Ⅱ）若不等式|

AB

|≥2|

OB

|对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）λ=1时，利用向量模的坐标公式求出向量

OA

、

OB

的长度，从而得到

OA

•

OB

=cosθ，然后利用向量数理积的坐标公式，得到

OA

•

OB

=sin（β-α）=

1

2

，最后解关于夹角θ的方程，可得向量

OA

与

OB

的夹角；
（Ⅱ）代入（1）的运算结果，将不等式|

AB

|≥2|

OB

|整理为：λ²-2λsin（β-α）+1≥4对任意实数α、β都成立，再结合正弦函数的有界性，建立关于λ的不等式组，解之可得满足条件的实数λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当λ=1时，

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（-sinβ，cosβ）
∴|

OA

|=1，|

OB

|=1
设向量

OA

与

OB

的夹角为θ，得

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|cosθ=cosθ
又∵

OA

•

OB

=cosα（-sinβ）+（sinα）cosβ=sin（α-β）=sin

π

6

=

1

2

∴cosθ=

1

2

∵θ∈[0，π]
∴θ=

π

3

（Ⅱ）|

AB

|²=|

OB

-

OA

|²=|

OA

|²-2

OA

•

OB

+|

OB

|²=λ²-2λsin（α-β）+1
不等式|

AB

|≥2|

OB

|可化为：λ²-2λsin（α-β）+1≥4，
即λ²-2λsin（α-β）-3≥0对任意实数α、β都成立
∵-1≤sin（α-β）≤1
∴

λ2-2λ-3≥0 λ2+2λ-3≥0

解得：λ≤-3或λ≥3
∴实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）

点评：本题综合了平面向量的数量积、和与差的三角函数以及不等式恒成立等知识点，属于难题．解题时应该注意等价转化和函数方程思想的运用．