Question

已知向量

OA

=（λsinα，λcosα），

OB

=（cosβ，sinβ），且α+β=

5π

6

，其中O为原点．
（Ⅰ）若λ＜0，求向量

OA

与

OB

的夹角；
（Ⅱ）若λ∈[-2，2]，求|

AB

|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得|

OA

|，|

OB

|，

OA

•

OB

，代入夹角公式计算可得；
（Ⅱ）|

AB

|=|

OB

-

OA

|，代入已知计算可得关于λ的函数式，由二次函数的知识可得相应的最值，可得范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得|

OA

|=

(λsinα)2+(λcosα)2

=-λ，
|

OB

|=

cos2β+sin2β

=1，

OA

•

OB

=λsinαcosβ+λcosαsinβ
=λsin（α+β）=λsin

5π

6

=

1

2

λ，设向量

OA

与

OB

的夹角为θ，
则cosθ=

1 2 λ

-λ×1

=-

1

2

，又因为θ∈[0，π]，
所以向量

OA

与

OB

的夹角θ为

2π

3

；
（Ⅱ）|

AB

|=|

OB

-

OA

|=

(cosβ-λsinα)2+(sinβ-λcosα)2

=

1+λ2-2λ(sinαcosβ+cosαsinβ)

=

1+λ2-2λsin(α+β)

=

1+λ2-λ

=

(λ- 1 2 )2+ 3 4

，由于λ∈[-2，2]，
由二次函数的知识可知：当λ=

1

2

时，上式有最小值

3

2

，
当λ=-2时，上式有最大值

7

，
故|

AB

|的取值范围是[

3

2

，

7

]

点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角，涉及三角函数的运算，属中档题．