Question

已知向量

OA

=(λsinα，λcosα)，

OB

=(cosβ，sinβ)，且α+β=4．
（1）求

OA

，

OB

的夹角θ的大小；
（2）求|

AB

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积表示出向量的夹角余弦，据向量夹角的范围对λ分类讨论求出角θ
（2）利用向量模的平方等于向量的平方表示出模，利用二次函数的最值的求法求出模的最小值．

解答：解：（1）|

OA

|=|λ|，|

OB

|=1

OA

•

OB

=λ(sinαcosβ+cosαsinβ)=λsin4
cosθ=

OA • OB

| OA || OB|

=

λsin4

|λ|

．
当λ＞0时，cosθ=sin4=cos（4-

π

2

），
因0≤θ≤π，0≤4-

π

2

≤π，故θ=4-

π

2

；
当λ＜0时，cosθ=-sin4=cos(

3π

2

-4)，
因0≤θ≤π，0≤

3π

2

-4≤π，故θ=

3π

2

-4
（2）|

AB

|2=(

OB

-

OA

)2
=

OB

2-2

OB

•

OA

+

OA

2
=λ²-2λsin（α+β）+1
=λ²-2λsin4+cos²4+sin²4
=（λ-sin4）²+cos²4
≥cos²4
所以|

AB

|的最小值为-cos4．

点评：本题考查利用向量的数量积求向量的夹角；向量模的平方等于向量的平方；二次函数最值的求法．