Question

已知函数（，）的图象恒过定点，椭圆：
（）的左，右焦点分别为，，直线经过点且与⊙：相切．
（1）求直线的方程；
（2）若直线经过点并与椭圆在轴上方的交点为，且，求内切圆的方程．

Answer 1

（1），或   （2）

试题分析：（Ⅰ）易知定点，⊙的圆心为，半径．
①当轴时，的方程为，易知和⊙相切．
②当与轴不垂直时，设的方程为，即，
圆心到的距离为． 由和⊙相切，得，解得．         
于是的方程为．综上，得直线的方程为，或．      
（Ⅱ）设，，则由，得．
又由直线的斜率为，得，．   
于是．
有，是等腰三角形，点是椭圆的上顶点．易知．                                        
于是内切圆的圆心在线段上．设，内切圆半径为．则，
由点到直线的距离，解得．                                                          
故内切圆的方程为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．