Question

已知椭圆：的离心率等于，点在椭圆上.
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设椭圆的左右顶点分别为,,过点的动直线与椭圆相交于,两点，是否存在定直线：，使得与的交点总在直线上？若存在，求出一个满足条件的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

(I)   
(Ⅱ) 存在定直线:,使得与的交点总在直线上,的值是.

试题分析：（1）由，
又点在椭圆上，，所以椭圆方程：；    
（2）当垂直轴时，，则的方程是：，
的方程是：，交点的坐标是：，猜测:存在常数,
即直线的方程是:使得与的交点总在直线上,
证明：设的方程是，点，
将的方程代入椭圆的方程得到：，
即：，
从而：，      
因为：，共线，所以：，，
又，要证明共线，即要证明，    
即证明：，即：，
即：因为：成立，
所以点在直线上.综上:存在定直线:,使得与的交点总在直线上,的值是.
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的方程是否存在，综合性强，难度大，有一定的探索性，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用