Question

如图，已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D、E两点．

（Ⅰ）若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）记△GFD的面积为S₁，△OED（O为原点）的面积为S₂．
试问：是否存在直线AB，使得S₁=S₂？说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．
（Ⅱ）不存在直线，使得 ．        12分

试题分析：（Ⅰ）依题意，直线的斜率存在，设其方程为．
将其代入，
整理得 ．
设，，  所以 ．        4分
故点的横坐标为．
依题意，得，
解得 ．           6分
（Ⅱ）解：假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直．

由（Ⅰ）可得 ．
因为 ，所以 ，
解得 ，      即 ．
因为 △∽△，
所以 ．
所以 ，
整理得 ．
因为此方程无解，所以不存在直线，使得 ．        12分
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）利用弦长公式，确定得到三角形面积表达式，实现对“存在性问题”的研究。