Question

（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C_（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由C_（α+β）推导两角和的正弦公式S_（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
（Ⅱ）已知cosα=，α∈，tanβ=，β∈，求cos（α+β）。

Answer 1

解：（Ⅰ）①证明：如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O， 并作出角α，β与-β， 使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2； 角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角-β的始边为OP1， 终边交⊙O于点P4， 则P1（1，0），P2（cosα，sinα）， P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））， 由P1P3=P2P4及两点间的距离公式， 得[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2， 展开并整理，得2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）， ∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； ②由①易得， =sinαcosβ+cosαsinβ， ∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
（Ⅱ）， ∴， ， ∴， cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ 。