题目内容
(本小题满分12分)
(Ⅰ)1证明两角和的余弦公式;
2由推导两角和的正弦公式.
(Ⅱ)已知,求
解:(1)①如图,在执教坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4.
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β))
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2
展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4分
②由①易得cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα
sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]
=cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6分
(2)∵α∈(π,),cosα=-
∴sinα=-
∵β∈(,π),tanβ=-
∴cosβ=-,sinβ=
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=(-)×(-)-(-)×
=
练习册系列答案
相关题目