题目内容

(本小题满分12分) 

(Ⅰ)1证明两角和的余弦公式

      2由推导两角和的正弦公式.

(Ⅱ)已知,求

解:(1)①如图,在执教坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4.

则P1(1,0),P2(cosα,sinα)

P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β))

由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得

[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2

展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4分 

②由①易得cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα

sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]

           =cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)

           =sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6分

(2)∵α∈(π,),cosα=-

   ∴sinα=-

   ∵β∈(,π),tanβ=-

   ∴cosβ=-,sinβ=

   cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

              =(-)×(-)-(- 

              =

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