Question

11．已知函数f（x）=|2x-1|+1，不等式f（x）＜2的解集为P．
（1）若不等式||x|-2|＜1的解集为Q，求证：P∩Q=∅；
（2）若m＞1，且n∈P，求证：$\frac{m+n}{1+mn}$＞1．

Answer 1

分析 （1）解不等式分别求出P，Q即可得出结论；
（2）使用分析法寻找使结论成立的条件即可．

解答 证明：（1）∵f（x）＜2，即|2x-1|+1＜2，
∴|2x-1|＜1，即-1＜2x-1＜1，
解得0＜x＜1，∴P=（0，1）．
∵||x|-2|＜1得-1＜|x|-2＜1，
∴1＜|x|＜3，∴Q=（-3，-1）∪（1，3）．
∴P∩Q=∅．
（2）∵m＞1，n＞0，∴1+mn＞0．
要证：$\frac{m+n}{1+mn}$＞1，
只需证：m+n＞1+mn，
即证：m+n-mn-1＞0即可，
即证（m-1）（1-n）＞0，
∵m＞1，0＜n＜1，
显然（m-1）（1-n）＞0成立，
∴$\frac{m+n}{1+mn}$＞1．

点评 本题考查了不等式的解法与证明，属于中档题．