Question

【题目】已知函数，

(1) 判断的奇偶性并证明；

(2) 令

①判断在的单调性（不必说明理由）；

②是否存在，使得在区间的值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）①单调递减，②

【解析】

(1)根据函数奇偶性的定义，即可证出．

(2) ①求出，由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减；②根据在上单调递减，可以得到，然后转化得出：和是方程的两根，再将其转化为直线与函数的图象在

上有两个交点，观察图象，可求出的取值范围．

是奇函数；证明如下：

由解得或,

所以的定义域为，关于原点对称．

,

故为奇函数．

，①在上单调递减．

②假设存在，使在的值域为．

由知，在上单调递减．

则有,．

所以,是方程在上的两根，

整理得在有2个不等根和．

即 ，令，则，，

即直线与函数的图象在上有两个交点，

所以， ．