Question

【题目】设函数为定义在上的奇函数，且当时，.

（1）求函数的解析式；

（2）求实数，使得函数在区间上的值域为；

（3）若函数在区间上的值域为，则记所有满足条件的区间的并集为，设，问是否存在实数，使得集合恰含有个元素？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据函数为奇函数，利用求得当时的表达式，由此求得的解析式.

（2）判断出函数在时的单调性，由此得到，由求解得的值.

（3）利用，求得集合，利用分段函数的解析式，结合分离常数法，求得的取值范围.

（1）令则，由于函数为奇函数，故.所以函数的解析式为.

（2）依题意，且当时，是单调递减函数，故，即是方程的两个根，即，，由于且，故解得.

（3）由于函数在区间上的值域为，即，，所以同号.当时，，当时，，即函数在区间上单调递减，即，即是方程的两个根，或是方程的两个根，即①，或②.由①解得，由②解得，所以.当，令，得，且为单调递增函数.当，令，得，且为单调递减函数.所以在区间上，当时，和各有解，也即存在实数，使得集合恰含有个元素.