Question

在棱长为的正方体中,是线段的中点,.
(1) 求证:^；
(2) 求证://平面；
(3) 求三棱锥的表面积.

Answer 1

(1)证明见解析    (2) 证明见解析
(3).

本试题考查了线线垂直和线面平行的判定定理和表面积公式的运用。第一问中，利用，得到结论，第二问中，先判定为平行四边形，然后，可知结论成立。
第三问中，是边长为的正三角形，其面积为，
因为平面，所以，
所以是直角三角形，其面积为，
同理的面积为， 面积为. 所以三棱锥的表面积为.
解: (1)证明：根据正方体的性质，
因为，
所以，又，所以，，
所以^.               ………………4分
(2)证明：连接，因为，
所以为平行四边形，因此，
由于是线段的中点，所以，      …………6分
因为面，平面，所以∥平面.   ……………8分
(3)是边长为的正三角形，其面积为，
因为平面，所以，
所以是直角三角形，其面积为，
同理的面积为，              ……………………10分
面积为.         所以三棱锥的表面积为