Question

平移f （x）=sin（ωx+?）（ω＞0，-＜?＜），给出下列4个论断：（1）图象关于x=对称（2）图象关于点（，0）对称　　　（3）最小正周期是π　　　（4）在[-，0]上是增函数以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题：（1）________．（2）________．

Answer 1

解：（1）：①②?③④．
由①得ω×+∅=kπ+，k∈z． 由②得ω +∅=kπ，k∈z．
又∵ω＞0，，故有ω=2，∅=．
∴，其周期为π．
令 ，可得 ．
故函数f（x）的增区间为[]，k∈z．
∵，
∴f（x）在区间[]上是增函数，
故可得 ①②?③④．
（2）：还可①③?②④．
由③它的周期为π，可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅）．
由①得 2×+∅=kπ+，k∈z．再由 可得φ=，故函数f（x）=sin（2x+）．
显然它的图象关于点（，0）对称，由（1）可得 f（x）在区间[]上是增函数．
故可得 ①③?②④．
故答案为 （1）：①②?③④； （2）：①③?②④．
分析：（1）由①得ω×+∅=kπ+； 再由②得ω +∅=kπ，k∈z，以及ω、∅的范围，求得ω、∅的值，从而得函数解析式，从而求出周期和单调增区间，可得③④正确，故得①②?③④．
（2）由③可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅），再由①得 2×+∅=kπ+，k∈z，结合∅的范围可得φ=，故函数f（x）=sin（2x+），由此推出②④成立．
点评：本题主要考查三角函数的周期性，单调性，对称性，以及学生构造命题拓展问题的能力，属中档题．