Question

已知函数f（x）=sin（x+

π

6

）+

3

2

，若将函数f（x）的图象向右平移

π

3

个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象
（1）求函数g（x）的解析式
（2）求x为何值时，函数g（x）的值最大且最大值为多少？
（3）求g（x）单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可取得函数g（x）的解析式；
（2）由

1

2

x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得函数g（x）的值最大时x的取值；
（3）由正弦函数的单调性可知，由2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），即可求得g（x）单调递减区间．

解答：解：（1）∵f（x）=sin（x+

π

6

）+

3

2

，
∴f（x-

π

3

）=sin[（x-

π

3

）+

π

6

]+

3

2

=sin（x-

π

6

）+

3

2

；
再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（

1

2

x-

π

6

）+

3

2

；
∴经过题设的变化得到的函数g（x）=sin（

1

2

x-

π

6

）+

3

2

；
（2）由

1

2

x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）得：x=4kπ+

4π

3

，k∈Z
∴当x=4kπ+

4π

3

，k∈Z时，函数取得最大值

5

2

；
（3）令2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
得4kπ+

4π

3

≤x≤4kπ+

10

3

π，k∈Z
∴g（x）单调递减区间为[4kπ+

4π

3

，4kπ+

10

3

π]，k∈Z．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．