Question

15．设函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_2}x，x＞0}\\{{{log}_{0.5}}（-x），x＜0}\end{array}}\right.$．
（I）求$f（f（-\frac{1}{4}））$的值；
（II）若f（a）＞f（-a），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据分段函数的解析，代值计算即可，
（Ⅱ）对a进行分类讨论，即可求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（-$\frac{1}{4}$）=log_0.5（$\frac{1}{4}$）=2，f（2）=log₂2=1，
∴$f（f（-\frac{1}{4}））$=1，
（Ⅱ）当x＞0时，f（x）=log₂x，函数为增函数，
当x＜0时，f（x）=log_0.5（-x），函数也为增函数，
∵f（a）＞f（-a），
当a＞0时，则log₂a＞log_0.5a=log₂$\frac{1}{a}$，即a＞$\frac{1}{a}$，解得a＞1，
当a＜0时，则log_0.5（-a）=log₂（-a）即log₂$\frac{1}{-a}$＞log₂（-a），即-$\frac{1}{a}$＞-a，解得-1＜a＜0
综上所述实数a的取值范围（-1，0）∪（1，+∞）

点评 本题考查了分段函数和函数值和参数的取值范围，关键是分类讨论，属于中档题．