题目内容

如图所示，有两条相交成60°的直线xx′、yy′，其交点是O，甲、乙两辆汽车分别在xx′、yy′上行驶，起初甲离O点30 km，乙离O点10 km，后来两车均以60 km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶．
（1）起初两车的距离是多少？
（2）t小时后两车的距离是多少？
（3）何时两车的距离最短？

解：（1）设甲、乙两车最初的位置为A、B，

则 $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |²+| $\text{[math]}$ |²-2| $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |cos60°=700．
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ km=10 $\text{[math]}$ km．
（2）设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q，
则 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ =（30-60t）²+（10+60t）²-2（30-60t）（10+60t）cos60°；
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ =（60t-30）²+（10+60t）²-2（60t-30）（10+60t）cos120°．
上面两式可统一为 $\text{[math]}$ =10800t²-3600t+700，
即 $\text{[math]}$ =10 $\text{[math]}$ km．
（3）因为 $\text{[math]}$ =10 $\text{[math]}$ ，
故当t= $\text{[math]}$ ，即在第10分钟末时，两车距离最短，最短距离为20km．
分析：（1）先设甲、乙两车最初的位置为A、B，将距离转化为向量问题，然后利用向量的数量积运算求甲乙两车的距离．
（2）设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q，则 $\text{[math]}$ ．利用余弦定理可得即 $\text{[math]}$ =10 $\text{[math]}$ km．
（3）由（2）得关于PQ的表达式，通过利用二次函数可探讨其最大值．
点评：本题考查了向量在物理中的应用及余弦定理，通过设点将物理问题转化为数学问题，灵活的考查了学生分析问题解问题的能了，是个中档题．