Question

11．已知△ABC中，AB=8，AC=2$\sqrt{6}$，cosC=$\frac{1}{3}$，点M在线段BC上运动．
（1）求BC的值；
（2）若∠AMC=60°，求CM的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意和余弦定理列出方程，化简后即可求出BC的值；
（2）由C的范围和平方关系求出sinC，由内角和定理、两角和的正弦公式求出sin∠MAC，在△AMC中由正弦定理即可求出CM的值．

解答 解：（1）如图：∵AB=8，AC=2$\sqrt{6}$，cosC=$\frac{1}{3}$，
∴由余弦定理得，AB²=AC²+BC²-2•AC•BC•cosC，
则64=24+$B{C}^{2}-2×2\sqrt{6}×BC×\frac{1}{3}$，
化简得，$B{C}^{2}-\frac{4\sqrt{6}}{3}BC-40=0$，
解得BC=4+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
（2）∵0°＜C＜180°，∴$sinC=\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵∠AMC=60°，∠MAC=180°-（C+∠AMC），
∴sin∠MAC=sin（C+60°）=sinCcos60°+cosCsin60°
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$，
在△AMC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sin∠AMC}=\frac{CM}{sin∠MAC}$，得$\frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{CM}{\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}}$，
解得CM=$\frac{8+2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理，两角和的正弦公式，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．