Question

（1）已知函数f（x²-3）=x⁴-6x²+1，求f（x）的解析式，并求定义域；
（2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x（1-x）+1，求x∈R时，f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x²-3=t，则：x²=t+3，（t≥-3），从而f（t）=（t+3）²-6（t+3）+1=t²-8，整理替换即可．
（2）先利用奇函数的图象关于原点对称，利用奇函数的定义求出函数f（x）的解析式．

解答： 解：（1）令x²-3=t，则：x²=t+3，（t≥-3），
∴f（t）=（t+3）²-6（t+3）+1=t²-8，
∴f（x）=x²-8（x≥-3）．
（2）解：由题意，当x=0时，f（x）=0
∵当x＞0时，f（x）=x（1-x）+1，
∴当x＜0时，-x＞0，f（-x）=-x（1+x）+1，
又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴x＜0时，f（x）=-f（-x）=x（1+x）-1
综上所述，f（x）=

x(1-x)+1，x＞0 0，x=0 x(1+x)-1，x＜0

，．

点评：本题考查了求函数的解析式问题，换元法是常用的方法之一，同时考查了奇偶性的应用．若已知一个函数为奇函数，则应有其定义域关于原点对称，且对定义域内的一切x都有f（-x）=-f（x）成立．