Question

如图，椭圆过点P(1, )，其左、右焦点分别为F₁,F₂,离心率e＝, M, N是直线x＝4上的两个动点，且·＝0.

（1）求椭圆的方程；

（2）求|MN|的最小值；

（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论。

Answer 1

解：（1）∵e＝，且过点P（1，）

∴   解得：a＝2，b＝                 

∴椭圆方程为＝1                            

（2）设点M（4，y₁），N（4，y₂），则＝（5，y₁），＝（3，y₂），

则＝15＋y₁·y₂＝0，∴y₁·y₂＝－15           

又∵|MN|＝|y₂－y₁|＝|――y₁|＝＋|y₁|≥2

∴|MN|的最小值为2。(y₁＝±等号成立)        

（3）圆心C的坐标为（4，），半径r＝，圆C的施方程为：

(x－4)²＋(y－)²＝                     

整理得x²＋y²―8x―(y₁＋y₂)y＋16＋y₁·y₂＝0

∵y₁·y₂＝－15    ∴x²＋y²―8x―(y₁＋y₂)y＋1＝0       

令y＝0，得x²－8x＋1＝0，∴x＝4±，

∴圆C过定点（4，±，0）