Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，单调递减的等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且a₃=5，S₃=9，b₂-1=a₂，T₃=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设M_n=lgb₁+lgb₂+…+lgb_n，求M_n的最值及此时n的值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）先求出两个基本量x₁和d．再求通项公式．
（2）注意到lgb_n是等差数列，再根据等差数列前n项和是二次函数的知识去解题．

解答： 解：（1）由已知得

a3=5 S3=9

⇒

a1+2d=5 3a1+3d=9

解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1
（2）由题意，b₂=4=b₁q，T₃=b₁+b₁q+b₁q²=14．，解得q=

1

2

或q=2（等比数列{b_n}单调递减，故舍去），故有b₁=8．
易得b_n=8（

1

2

）^n-1
而{lgb_n}是以lg8为首项，lg0.5为公差的等差数列，
∴M_n=lg8×n+0.5n（n-1）lg0.5-lg0.5=-0.5lg2[（n-3.5）²-49/4]
∴n=3或4时有最大值6lg2．

点评：本题中考查了等比数列和等差数列的基本知识点及两者的联系，属于中档题．