Question

8．已知抛物线y²=2px（p＞0）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）有相同的焦点，点A是两曲线的一个公共点，若|AF|=$\frac{5p}{6}$，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{-5+\sqrt{51}}{2}$
• B． $\frac{-5+\sqrt{61}}{6}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点和准线方程，即有p=2c，再由抛物线的定义求得P的坐标，代入椭圆方程，结合离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到离心率．

解答 解：∵抛物线y²=2px与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）有相同的焦点F，
∴椭圆的c=$\frac{p}{2}$，即p=2c．
设A的坐标为（m，n），则由抛物线的定义可得m+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{6}p$，
解得m=$\frac{p}{3}$，n=±$\frac{\sqrt{6}}{3}p$，即有A（$\frac{2c}{3}$，±$\frac{2\sqrt{6}}{3}c$）．
代入椭圆方程可得$\frac{4{c}^{2}}{9{a}^{2}}+\frac{8{c}^{2}}{3{b}^{2}}=1$，
由离心率e=$\frac{c}{a}$，b²=c²-a²，
可得$\frac{4}{9}{e}^{2}$+$\frac{8{e}^{2}}{3（1-{e}^{2}）}$=1，
即为4e⁴-37e²+9=0，
即有e²=9（舍去）或$\frac{1}{4}$，
解得e=$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，运用抛物线的定义求得P的坐标是解题的关键，是中档题．