Question

19．若m=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）dx，则二项式（$\sqrt{x}$-$\frac{m}{\sqrt{x}}$）⁶展开式中含x项的系数是60．

Answer 1

分析 m=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）dx=-$\sqrt{2}$$cos（x+\frac{π}{4}）{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=2，利用二项式$（\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{6}$展开式中的通项公式即可得出．

解答 解：m=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）dx=-$\sqrt{2}$$cos（x+\frac{π}{4}）{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=2，
则二项式$（\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{6}$展开式中的通项公式：${∁}_{6}^{r}（\sqrt{x}）^{6-r}$$（-2{x}^{-\frac{1}{2}}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{6}^{r}$x^3-r，令3-r=1，解得r=2．
∴含x项的系数=$（-2）^{2}{∁}_{6}^{2}$=60．
故答案为：60．

点评 本题考查了微积分基本定理、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．