Question

1．已知两定点F₁（-2，0），F₂（2，0），曲线C上的动点M满足|MF₁|+|MF₂|=8，直线MF₂与曲线C的另一个交点为P．
（Ⅰ）求曲线C的标准方程；
（Ⅱ）设点N（-4，0），若S${\;}_{△MN{F}_{2}}$：S${\;}_{△PN{F}_{2}}$=3：2，求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=8＞4，所以曲线C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为8的椭圆．由此可知曲线C的方程；
（Ⅱ）设M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=k（x+4）}\end{array}\right.$，得（3+4k²）y²-24ky=0，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能fiy bm 直线MN的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁（-2，0），F₂（2，0），∴|F₁F₂|=4，
∵|MF₁|+|MF₂|=8＞4，
∴曲线C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为8的椭圆．
曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．（4分）
（Ⅱ）由题意知直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行．（5分）
设M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=k（x+4）}\end{array}\right.$，得（3+4k²）y²-24ky=0．
解得y=0或y=$\frac{24k}{4{k}^{2}+3}$．
依题意${y}_{M}=\frac{24k}{4{k}^{2}+3}$，x_M=$\frac{1}{k}$y_M-4=$\frac{-16{k}^{2}+12}{4{k}^{2}+3}$．（7分）
因为S△MNF2：S△PNF2=3：2，
所以$\frac{|M{F}_{2}|}{|{F}_{2}P|}$=$\frac{3}{2}$，则$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{{F}_{2}P}$．
于是$\left\{\begin{array}{l}{2-{x}_{M}=\frac{3}{2}（0-{y}_{M}）}\\{0-{y}_{M}=\frac{3}{2}（{y}_{P}-0）}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}=\frac{2}{3}（2-{x}_{M}）+2=\frac{24{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+3}}\\{{y}_{P}=-\frac{2}{3}{y}_{M}=\frac{-16M}{4{k}^{2}+3}}\end{array}\right.$，（9分）
因为点P在椭圆上，所以3（$\frac{24{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+3}$）²+4（$\frac{-16k}{4{k}^{2}+3}$）=48．
整理得48k⁴+8k²-21=0，
解得${k}^{2}=\frac{7}{12}$或k²=-$\frac{3}{4}$（舍去），
从而k=$±\frac{\sqrt{21}}{6}$．（（11分））
所以直线MN的方程为y=$±\frac{\sqrt{21}}{6}$（x+4）．（12分）

点评 本题考查椭圆的定义标准方程及其性质、直线方程的性质、斜率计算公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．