Question

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距为2，点Q（$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$，0）在直线l：x=3上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，P为直线l上一动点，过点P作直线与椭圆相切点于点A，求△POA面积S的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：c=1，由Q（$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$，0）在直线l：x=3上．即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，△=0，即可求得A点坐标，根据三角形的面积公式，利用导数与函数单调性的关系，即可求得△POA面积S的最小值．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距为2，则2c=2，c=1，又点Q（$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$，0）在直线l：x=3上，
∴a²=3，∴b²=a²-c²=2．
∴椭圆C的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，设P（3，y₀），A（x₁，y₁）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，整理得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，由△=24（2+3k²-m²）=0，则2+3k²=m²，
x₁=-$\frac{3km}{2+3{k}^{2}}$，则y₁=$\frac{2m}{2+3{k}^{2}}$，y₀=kx+m．
由2+3k²=m²，则m=±$\sqrt{2+3{k}^{2}}$．
当m=$\sqrt{2+3{k}^{2}}$．时，△POA面积S_△OPA=$\frac{3}{2}$丨k+$\sqrt{2+3{k}^{2}}$丨，又$\sqrt{2+3{k^2}}＞\sqrt{3{k^2}}＞|k|$，k+$\sqrt{2+3{k}^{2}}$＞0，
∴S_△OPA=$\frac{3}{2}$（k+$\sqrt{2+3{k}^{2}}$）．
令f（k）=$\frac{3}{2}$（k+$\sqrt{2+3{k}^{2}}$），k∈R，则f′（k）=$\frac{3}{2}$（1+$\frac{3k}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}$）=$\frac{3}{2}$（$\frac{\sqrt{2+3{k}^{2}}+3k}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}$），
由f′（k）=0，得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，f（k）在（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上单调递减，在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）单调递增，
∴f（k）_min=f（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\sqrt{3}$．即当l的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，△OPA面积S的最小值为$\sqrt{3}$．
同理当m=-$\sqrt{2+3{k}^{2}}$．时，S_△OPA=$\frac{3}{2}$（-k+$\sqrt{2+3{k}^{2}}$）．当l的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，△OPA面积S的最小值为$\sqrt{3}$．
综上，△OPA面积S的最小值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查导数与函数单调性的关系，考查计算能力，属于中档题．