Question

10．已知圆C：（x-a）²+y²=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜$\frac{π}{4}$，运用解直角三角形可得可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA²=PC²-1，求得PC的最小值，可得PA的最小值，解不等式即可得到所求a的范围．

解答 解：作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，
连接AC，BC，PC，
由圆心C（a，0）到直线l的距离为d=$\frac{|2a+3|}{2\sqrt{2}}$＞$\frac{3}{2\sqrt{2}}$＞1，
可得直线和圆相离．
由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜$\frac{π}{4}$，
即0＜tan∠APC＜1，
在Rt△APC中，tan∠APC=$\frac{AC}{PA}$=$\frac{1}{PA}$，
可得1＜PA恒成立，
由勾股定理可得PA²=PC²-1，
当PC⊥l时，PC取得最小值，且为$\frac{|2a+3|}{2\sqrt{2}}$，
即有1＜$\sqrt{\frac{（2a+3）^{2}}{8}-1}$，
解得a＞$\frac{1}{2}$．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，主要是相切，注意运用切线的性质和点到直线的距离公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．