Question

7．$\frac{1}{{\sqrt{2}+1+tan22°}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+1+tan23°}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 设A=1+tan22°，B=1+tan23°，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式可求AB=2，即（1+tan22°）（1+tan23°）=2，将所求通分，整理即可得解．

解答 解：因为：tan（23°+22°）=tan45°=1，
所以：（1+tan22°）（1+tan23°）
=1+tan23°+tan22°+tan22°tan23°
=1+（1-tan23°tan22°）+tan22°tan23°
=2，
设A=1+tan22°，B=1+tan23°，则AB=2，
所以：原式=$\frac{1}{\sqrt{2}+A}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+B}$=$\frac{\sqrt{2}+B+\sqrt{2}+A}{（\sqrt{2}+A）（\sqrt{2}+B）}$=$\frac{2\sqrt{2}+A+B}{2+\sqrt{2}A+\sqrt{2}B+AB}$=$\frac{2\sqrt{2}+A+B}{4+\sqrt{2}A+\sqrt{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}+A+B}{\sqrt{2}（2\sqrt{2}+A+B）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，求得并利用结论（1+tan22°）（1+tan23°）=2是解题的关键，属于中档题．