Question

已知集合

-1≤3x≤1 -1≤2x+1≤1 3x＜2x+1

，集合B={x|p+1≤x≤2p-1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,交集及其运算

专题：不等式的解法及应用

分析：先将不等式组的解集求出，即为集合A，再根据A∩B=B即为B⊆A，利用集合的子集的定义，列关于p的不等关系式，求解即可得到实数p的取值范围．

解答： 解：∵

-1≤3x≤1 -1≤2x+1≤1 3x＜2x+1

，
即

- 1 3 ≤x≤ 1 3 -1≤x≤0 x＜1

，
解得-

1

3

≤x≤0，
故集合A={x|-

1

3

≤x≤0}，
∵A∩B=B，
∴B⊆A，且集合B={x|p+1≤x≤2p-1}，
①当B=∅时，p+1＞2p-1，
解得p＜2，
故实数p的取值范围为p＜2；
②当B≠∅时，
则有1

p+1≤2p-1 p+1≥- 1 3 2p-1≤0

，
即

p≥2 p≥- 4 3 p≤ 1 2

，
解得p∈∅，
故实数p的取值范围为∅．
综合①②可得，实数p的取值范围为p＜2．

点评：本题考查了不等式组的求解，集合的交集和子集的运算．解题的关键是将A∩B=B转化为B⊆A．解有关集合的子集问题，求解的时候不能忽略空集和集合本身这两种情况，是易错点．属于中档题．