Question

15．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$及$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质即可得出；
（2）利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61，
∴61=$4{\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-3${\overrightarrow{b}}^{2}$=4×4²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-3×3²，
化为$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-6．
∴-6=4×3×cosθ，
化为cosθ=-$\frac{1}{2}$．
∵θ∈[0，π]，
∴$θ=\frac{2π}{3}$．
（2）|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}-2×（-6）}$=$\sqrt{37}$．

点评 本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．