Question

1．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1）且当x∈[-1，0]时，f（x）=9^x+$\frac{4}{9}$，函数g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-$\frac{2}{9}$，则关于x的不等式f（x）＜g（|x+1|）的解集为（　　）

• A． （-2，-1）∪（-1，0）
• B． （-$\frac{3}{2}$，-1）∪（-1，-$\frac{1}{2}$）
• C． （-$\frac{5}{4}$，-1）∪（-1，-$\frac{3}{4}$）
• D． （-$\frac{7}{4}$，-1）∪（-1，-$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 根据条件求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性的关系求出函数f（x）在一个周期内的图象，利用数形结合作出两个函数的图象，求出交点的横坐标，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数．
若x∈[0，1]时，-x∈[-1，0]，
∵当x∈[-1，0]时，f（x）=9^x+$\frac{4}{9}$，
∴当x∈[0，1]时，f（-x）=9^-x+$\frac{4}{9}$，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=9^-x+$\frac{4}{9}$=f（x），
即f（x）=9^-x+$\frac{4}{9}$，x∈[0，1]，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{9}^{x}+\frac{4}{9}，}&{x∈[-1，0]}\\{{9}^{-x}+\frac{4}{9}，}&{x∈[0，1]}\end{array}\right.$．
∵函数g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-$\frac{2}{9}$，
∴g（|x+1|）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x+1|-$\frac{2}{9}$=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）-\frac{2}{9}，}&{x＞-1}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x-1）-\frac{2}{9}，}&{x＜-1}\end{array}\right.$，
作出函数f（x）和y=g（|x+1|）的图象如图：
当-1＜x＜0时，由9^x+$\frac{4}{9}$=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）-$\frac{2}{9}$，
即9^x+$\frac{6}{9}$=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1），
即3^2x+$\frac{2}{3}$=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1），
由选项验证解得x=-$\frac{1}{2}$，
即此时不等式式f（x）＜g（|x+1|）的解为-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，
∵函数g（|x+1|）关于x=-1对称，
∴不等式式f（x）＜g（|x+1|）的解为-1＜x＜-$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{2}$＜x＜-1，
即不等式的解集为（-$\frac{3}{2}$，-1）∪（-1，-$\frac{1}{2}$），
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性的求解，以及不等式的应用，利用函数与方程之间的关系，结合数形结合是解决本题的关键．本题综合性较强，运算量较大，难度较大．