Question

11．已知a，b，c为△ABC的三个内角的对边，向量$\overrightarrow{m}$=（2cosB，1），$\overrightarrow{n}$=（1-sinB，sin2B-1），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求∠B的大小；
（2）若a=1，c=2，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$便得到$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，进行数量积的坐标运算便可得到cosB=$\frac{1}{2}$，从而得出B=$\frac{π}{3}$；
（2）根据余弦定理便有b²=a²+c²-2accosB，这样即可求出b的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$；
即2cosB（1-sinB）+sin2B-1=2cosB-2sinBcosB+sin2B-1=2cosB-1=0；
∴$cosB=\frac{1}{2}$；
又B∈（0，π）；
∴$B=\frac{π}{3}$；
（2）在△ABC中，$a=1，c=2，B=\frac{π}{3}$；
∴由余弦定理得，${b}^{2}={a}^{2}+{c}^{2}-2accos\frac{π}{3}$=1+4-2=3；
∴$b=\sqrt{3}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，二倍角的正弦公式，已知三角函数值求角，以及余弦定理．