Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx，ω＞0，x∈R，且函数f（x）的最小正周期为π；
（1）求ω的值和函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，b=2，△ABC的面积等于3，求边长a的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式结合两角差的正弦函数公式化简函数解析式，再由周期公式列式求得ω的值，解得函数解析式，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可求得函数的增区间．
（2）由f（$\frac{A}{2}+\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，可求sinA的值，利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理即可求得a的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），…（2分）
由f（x）的最小正周期为π，得：ω=1，…（3分）
∵2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即 kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，…（5分）
所以，函数的增区间为：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，…（6分）
（2）∵f（$\frac{A}{2}+\frac{π}{3}$）=sin（A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{4}{5}$，A∈（0，π），
∴cosA=$\frac{4}{5}$，sinA=$\frac{3}{5}$，…（8分）
∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=3，b=2，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴c=5． …（10分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=13，
∴a=$\sqrt{13}$．   …（12分）

点评 本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和与差的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属中档题．