Question

6．若数列{a_n}满足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=d$（n∈N^*，d为常数），则称{a_n}为“调和数列”，已知正项数列$\left\{{\frac{1}{x_n}}\right\}$为“调和数列”，且x₁+x₂+…+x₂₀=200，则$\frac{1}{x_3}+\frac{1}{{{x_{18}}}}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{10}$
• B． 10
• C． $\frac{1}{5}$
• D． 5

Answer 1

分析 结合调和数列的定义可得：x_n+1-x_n=t，（n∈N^*，t为常数），从而数列{x_n}是等差数列．由等差数列的性质可得x₃+x₁₈=x₁+x₂₀=20，从而20≥2$\sqrt{{x}_{3}{x}_{18}}$，由此能求出$\frac{1}{x_3}+\frac{1}{{{x_{18}}}}$的最小值．

解答 解：∵数列{a_n}满足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=d$（n∈N^*，d为常数），则称{a_n}为“调和数列”，
正项数列$\left\{{\frac{1}{x_n}}\right\}$为“调和数列”，
∴结合调和数列的定义可得：x_n+1-x_n=t，（n∈N^*，t为常数），
∴数列{x_n}是等差数列．
∵x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=200，
∴结合等差数列的性质可得：x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=10（x₁+x₂₀）=200，
∴x₃+x₁₈=x₁+x₂₀=20，
∴20≥2$\sqrt{{x}_{3}{x}_{18}}$，即x₃x₁₈≤100．
∴$\frac{1}{x_3}+\frac{1}{{{x_{18}}}}$=$\frac{{x}_{3}+{x}_{18}}{{x}_{3}{x}_{18}}$=$\frac{20}{{x}_{3}{x}_{18}}$≥$\frac{20}{100}$=$\frac{1}{5}$，
当且仅当x₃=x₁₈=10时，取等号，
∴$\frac{1}{x_3}+\frac{1}{{{x_{18}}}}$的最小值为$\frac{1}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查数列中两项和的最小值的求法，涉及到等差数列、等比数列、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．