Question

13．已知O（0，0，0），A（-2，2，-2），B（1，4，-6），C（x，-8，8），若OC⊥AB，则x=16；若O、A、B、C四点共面，则x=8．

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{AB}$的坐标，根据$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，得到3x-16-32=0，解出即可．（2）由于四点A，B，C，O共面，可得存在实数λ，μ使得，解出即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OC}$=（x，-8，8），$\overrightarrow{AB}$=（3，2，-4），
若OC⊥AB，则$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴3x-16-32=0，解得：x=16，；
（2）∵O（0，0，0），A（-2，2，-2），B（1，4，-6），C（x，-8，8），
∴$\overrightarrow{OA}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{OB}$=（1，4，-6），$\overrightarrow{OC}$=（x，-8，8），
∵四点A，B，C，O共面，
∴存在实数λ，μ使得，$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
∴（x，-8，8）=λ（-2，2，-2）+μ（1，4，-6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-2λ+μ}\\{-8=2λ+4μ}\\{8=-2λ-6μ}\end{array}\right.$，解得x=8，
故答案为：16； 8

点评 本题考查了向量垂直的性质，考查向量共面问题，是一道基础题．