Question

5．如图，圆O是△ABC的外接圆，D是$\widehat{AC}$的中点，BD交AC于E．
（Ⅰ）求证：DC²=DE•DB；
（Ⅱ）若CD=4$\sqrt{3}$，点O到AC的距离等于点D到AC的距离的一半，求圆O的半径r．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△BDC∽△CDE，即可证明：DC²=DE•DB；
（Ⅱ）连结OD，OD⊥AC，设垂足为F，求出$OF=\frac{1}{3}r\;\;，\;\;DF=\frac{2}{3}r$，利用勾股定理建立方程，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵D是$\widehat{AC}$的中点，∴∠ABD=∠CBD
又∵∠ABD=∠ACD
∴∠CBD=∠ACD，∠BDC=∠CDE，
∴△BDC∽△CDE，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{DC}{DE}$，即DC²=DE•DB，…（5分）
（Ⅱ）解：连结OD，
∵D是$\widehat{AC}$的中点，
∴OD⊥AC，设垂足为F，
则$OF=\frac{1}{2}DF\;\;，\;\;OF+DF=OD=r$，
∴$OF=\frac{1}{3}r\;\;，\;\;DF=\frac{2}{3}r$，
在Rt△OFC中，OF²+FC²=r²，∴$F{C^2}=\frac{8}{9}{r^2}$，
在Rt△DFC中，DF²+FC²=CD²=48，即${（{\frac{2}{3}r}）^2}+\frac{8}{9}{r^2}=48$，
得r=6．…（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定与性质的运用，考查勾股定理的运用，属于中档题．