Question

设0＜α＜

π

2

＜β＜π，且sin（α+β）=

5

13

，cos

α

2

=

2 5

5

，则cosβ=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由已知角的范围和函数值可得cos（α+β）和sinα，cosα，而cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，代入计算可得．

解答： 解：∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，∴

π

2

＜α+β＜

3π

2

，
又sin（α+β）=

5

13

，∴π＜α+β＜

3π

2

，
∴cos（α+β）=

1-sin2(α+β)

=-

12

13

，
∵cos

α

2

=

2 5

5

，∴cosα=2cos²

α

2

-1=

3

5

，
∴sinα=

1-cos2α

=

4

5

，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-

12

12

×

3

5

+

5

13

×

4

5

=-

16

65

故答案为：-

16

65

．

点评：本题考查两角和与差的余弦函数，涉及二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属中档题．