Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1+x}{e^x}$，g（x）=1-ax²．
（1）若函数f（x）和g（x）的图象在x=1处的切线平行，求a的值；
（2）当x∈[0，1]时，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出f（x），g（x）的导数，计算得到f′（1）=g′（1），求出a的值即可；
（2）问题转化为1-a≥$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$在[01，]恒成立，令h（x）=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$，x∈[0，1]，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$，f′（1）=-$\frac{1}{e}$，
g′（x）=-2ax，g′（1）=-2a，
由题意得：-2a=-$\frac{1}{e}$，解得：a=$\frac{1}{2e}$；
（2）当x∈[0，1]时，不等式f（x）≤g（x）恒成立，
即1-a≥$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$在[0，1]恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$，x∈[0，1]，
则h′（x）=$\frac{-x（x-1）}{{e}^{x}}$≥0，
故h（x）在[0，1]递增，
故h（x）≤h（1）=$\frac{3}{e}$，
故1-a≥$\frac{3}{e}$，解得：a≤$\frac{e-3}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．