Question

2．已知离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（2，0），过点Q（1，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设点P（4，3），记PA，PB的斜率分别为k₁，k₂
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）探讨k₁+k₂是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出k₁+k₂的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知a=2c，a=2，则c=1，b²=a²-c²=3，
（Ⅱ）分类讨论，当直线线AB的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及直线斜率公式，即可求得的k₁+k₂值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，
由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（2，0），则a=2，c=1，
则b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$），
则k₁=$\frac{3-\frac{3}{2}}{4-1}$=$\frac{1}{2}$，k₂=$\frac{3+\frac{3}{2}}{4-1}$=$\frac{3}{2}$，故k₁+k₂=2，
当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-3}{{x}_{2}-4}$=$\frac{k{x}_{1}-k-3}{{x}_{1}-4}$+$\frac{k{x}_{2}-k-3}{{x}_{2}-4}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（5k+3）（{x}_{1}+{x}_{2}）+8（k+3）}{{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）+16}$，
=$\frac{2k×\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-（5k+3）×\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+8（k+3）}{\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-4×\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+16}$=$\frac{72（{k}^{2}+1）}{36（{k}^{2}+1）}$=2，
综上可知：k₁+k₂为定值，定值为2．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．