Question

1．对函数f（x），在使f（x）≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f（x）的下确界．现已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=-3x²+2，则f（x）的下确界为（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． -2
• D． -1

Answer 1

分析 由偶函数的定义和已知f（1-x）=f（1+x），可得f（x）为最小正周期为2的函数．求出f（x）在[-1，1]的解析式，运用二次函数的性质，可得最值，再由新定义，即可得到M的范围，可得M的最大值．

解答 解：由定义在R上的偶函数f（x），可得
f（-x）=f（x），
又f（1-x）=f（1+x），
可得f（-x）=f（x+2），
即有f（x+2）=f（x），
则f（x）为最小正周期为2的函数．
当x∈[0，1]时，f（x）=-3x²+2，
可得x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=-3x²+2，
f（x）在[-1，]内，最大值为f（0）=2，最小值为f（-1）=f（1）=-1．
由题意可得M≤-1．
则M的最大值为-1．
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性和周期性的运用，考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的性质，考查不等式恒成立问题的解法，以及运算能力，属于中档题．