Question

（12分）已知直线l：mx﹣2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：（a＞b＞0），椭圆C的离心率为，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l经过的定点为Q，过点Q作斜率为k的直线l′与椭圆C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

（3）设直线l与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，线段PM长度的最大值为f（m），求f（m）的表达式．

 

Answer 1

（1）．（2）．（3）f（m）=．

【解析】

试题分析：（1）直接利用离心率为，以及连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2列出关于a，b，c方程，求出a，b，c即可得到椭圆方程；

（2）先求出直线所过的顶点坐标，再联立直线方程与椭圆方程，利用判别式大于0即可求实数k的取值范围；

（3）先求出点P的坐标（0，m），设出点M，根据两点间的距离公式求出|PM|2的表达式，根据M为椭圆C上的动点的限制对m分情况讨论即可求出f（m）的表达式．

【解析】
（1）由离心率，得

又因为，所以，即椭圆标准方程为．（4分）

（2）由l：mx﹣2y+2m=0经过定点Q（﹣2，0），则直线l′：y=k（x+2），

由 有（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0．

所以△=64k4﹣8（2k2+1）（4k2﹣1）＞0，可化为 2k2﹣1＜0

解得． （8分）

（3） 由l：mx﹣2y+2m=0，设x=0，则y=m，所以P（0，m）．

设M（x，y）满足，

则|PM|2=x2+（y﹣m）2=2﹣2y2+（y﹣m ）2=﹣y2﹣2my+m2+2=﹣（y+m）2+2m2+2，

因为﹣1≤y≤1，所以

当|m|＞1时，|MP|的最大值f（m）=1+|m|；

当|m|≤1时，|MP|的最大值f（m）=；

所以f（m）=．（12分）