Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁：y=k（x-1），若l₁与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，A（1，0）．
（1）求直线l₁的斜率k的取值范围；
（2）求点M坐标（用k表示）；
（3）已知l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，问|AM|•|AN|是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）l₁与圆相交于P、Q两点，可得

|2k-4|

k2+1

＜2，即可求出直线l₁的斜率k的取值范围；
（2）利用直线l₁与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标，直接转化为过圆心与直线l₁垂直的中垂线方程，解两条直线方程的交点即可；
（3）分别联立相应方程，求得M，N的坐标，再求|AM|•|AN|．

解答： 解：（1）∵l₁与圆相交于P、Q两点，
∴

|2k-4|

k2+1

＜2，
∴k＞

3

4

；
（2）直线l₁方程为y=k（x-1），
∵PQ⊥CM，∴CM方程为y-4=-

1

k

（x-3），即x+ky-3-4k=0．
与y=k（x-1），联立，可得M点坐标（

k2+4k+3

k2+1

，

4k2+2k

k2+1

）．
（3）由l₁与l₂：x+2y+2=0，联立得N（

2k-2

2k+1

，-

3k

2k+1

）；
又M点坐标（

k2+4k+3

k2+1

，

4k2+2k

k2+1

）．
∴|AM|•|AN|=

2|2k+1|

1+k2

•

1+k2

•

3 1+k2

|2k+1|

=6为定值

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．