Question

9．直线m：（1+λ）x+y-2λ-4=0与圆O：x²+y²=16交于A，C，直线n：x-（λ+1）（y-2）-2=0与圆O交于B，D，则四边形ABCD面积的最大值是24．

Answer 1

分析 先确定直线m，n恒过定点M（2，2），圆心O（0，0），半径R=4，AC²+BD²为定值，表示出面积，即可求四边形ABCD的面积的最大值和最小值．

解答 解：由题意可得，直线m，n恒过定点M（2，2），圆心O（0，0），半径R=4，
设弦AC，BD的中点分别为E，F，则OE²+OF²=OM²=8，
AC=2$\sqrt{16-O{E}^{2}}$，BD=2$\sqrt{16-O{F}^{2}}$，
∴AC²+BD²=4（32-OE²-OF²）=96，
∴S²≤$\frac{1}{4}$AC²•BD²=$\frac{1}{4}$AC²•（96-AC²）≤$\frac{1}{4}•（\frac{A{C}^{2}+96-A{C}^{2}}{2}）^{2}$=576，
∴S≤24，当且仅当AC²=96-AC²，即AC=4$\sqrt{3}$时，取等号，
故四边形ABCD面积S的最大值为24．
故答案为：24．

点评 本题主要考查直线过定点，考查面积的计算，基本不等式的应用，正确运用代入法是解题的关键，属于中档题．