Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：BC₁∥平面ACD₁；
（2）证明：A₁D⊥D₁E；
（3）当E为AB的中点时，求四棱锥E-ACD₁的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；
（3）利用VE-ACD1=VD1-ACE即可求出．

解答：解：（1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴AB∥D₁C₁，AB=D₁C₁，
∴AB C₁ D₁为平行四边形，∴B C₁∥AD₁，
又∵BC₁?平面ACD₁，AD₁?平面ACD₁，
∴BC₁∥平面ACD₁．
（2）证明：∵AE⊥平面AA₁D₁D，A₁D?平面AA₁D₁D，
∴A₁D⊥AE．
∵四边形AA₁D₁D为正方形，∴A₁D⊥A D₁，
又AD₁∩AE=A，∴A₁D⊥平面AD₁E，
∵D₁E?平面AD₁E，∴A₁D⊥D₁E．
（3）解：∵S_△ACE=

1

2

×AE×BC=

1

2

×1×1=

1

2

．
∴VE-ACD1=VD1-ACE=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．
所以三棱锥E-ACD₁的体积

1

6

．

点评：熟练掌握线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理和性质定理及等积变形是解题的关键．